La imagen sabatina XLI

Muy buenas a todos. Hoy volvemos con una nueva imagen sabatina, pero esta vez tenemos una imagen especial. Para compensar que el último sábado no hubo imagen sabatina, hoy os traigo una sucesión de imágenes en movimiento: un vídeo.

En este video, empieza mostrándonos la famosa sucesión de Fibonacci. 1,1,2,3... Pero no solo eso, nos va enseñando ejemplos de como esta sucesión aparece en las proporciones de seres de la naturaleza, nos muestra cómo la proporción áurea se cumple en la naturaleza.

Tras la aparición de dicha sucesión, vemos la creación de un rectángulo áureo y de su correspondiente espiral áurea.

A partir de esta espiral, vemos la formación de la concha de un nautilus, género de moluscos cefalópodos del cual surgen tres especies diferentes: Nautilus belauensis, Nautilus macromphalus y Nautilus pompilius.

Hay que tener en cuenta que la espiral de la concha del nautilus no es exactamente idéntica a la espiral áurea, pero es muy similar.

Después vemos otra propiedad de los rectángulos áureos, que además es claramente visible en las tarjetas.

Las tarjetas son también rectángulos áureos. Si juntamos dos tarjetas, una horizontal y otra vertical y las alineamos por sus bases, podemos formar una diagonal que vaya de la esquina inferior izquierda de la tarjeta horizontal hasta la esquina superior derecha de la tarjeta vertical. Esta propiedad es única de los rectángulos áureos del mismo tamaño. Bien, si cogemos la anchura (llamémosla a) y la sumamos a la altura (llamémosla b) y al resultado de esta suma le dividimos a, obtenemos φ (Phi), es decir, el número áureo, que es igual a 1,61803399....

Ahora bien, supongamos que tenemos dos cuerdas, una que mide a y la otra que mide b (con las medidas del caso anterior, es decir, estas medidas deben cumplir la proporción áurea) y atamos una cuerda a la otra y formamos una circunferencia con la cuerda resultante. Tenemos los nudos de tal manera que nos permiten diferenciar que parte del circunferencia es la cuerda a y que parte es la cuerda b. El arco de la circunferencia que comprende lo que sería el segmento b forma un ángulo de unos 137'5º aproximadamente. Este ángulo es conocido como ángulo áureo.

Aquí tenéis una descripción más gráfica

Como vemos en el vídeo, si repetimos sobre una circunferencia el ángulo áureo una y otra vez, obtenemos una distribución, la misma que la distribución de las pipas del girasol.

En el último ejemplo aparecen las teselaciones de Voronoi, tambiñen llamados polígonos de Thiessen. Este patrón es visible en los élitros de los insectos o en las ramificaciones capilares vegetales, por ejemplo.

La mejor forma de crear las teselaciones de Voronoi es mediante la triangulación de Delaunay. Esta triangulación consiste en distribuir una serie de puntos aleatorios y unirlos con segmentos, de tal manera que se formen triángulos, pero se debe cumplir la condición de Delaunay, si formamos una circunferencia circunscrita (circunferencia que toque los vértices de un triángulo), esta circunferencia no debe contener en su interior otro punto que no sea de su triángulo. Una vez que tenemos hecha la triangulación de Delaunay, tenemos que hacer las mediatrices de cada lado de los triángulos y obtendremos los polígonos de Thiessen.

Triangulación de Delaunay (izquierda) y teselaciones de Voronoi (derecha)

Eso es todo por hoy. ¡Espero que os haya gustado y nos vemos en el siguiente post!