El teorema de Banach-Tarski es un teorema que me llamó la atención desde el primer momento que escuché hablar de él. Los adjetivos mágico o sorprendente se quedan cortos para definirlo. ¿Por qué? Veamos qué nos dice este teorema y decidid por vosotros mismos:
Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida.
Ahora analicémoslo paso por paso. Supongamos que tomamos una esfera cuyo radio es de un metro y maciza, esto es, completamente rellena. Según este teorema, si la dividiésemos en 8 partes cada una con una forma concreta, sería posible unir 5 de estas partes para formar una esfera de 1 metro maciza, y unir las 3 partes restantes para otra más. Es decir, a partir de una única esfera de 1 metro y maciza, podríamos obtener... ¡2 esferas de un metro de radio, también macizas! ¿Acaso no es increíble? Es más, en 1994 el matemático estadounidense R.M. Robinson demostró que se podría hacer con solamente cinco piezas. En ese momento, se pensó que con cuatro ya sería imposible, pero no pasó mucho tiempo hasta que se demostró que en realidad con cuatro también se podría.
Para rizar aún más el rizo, una vez obtenidas estas esferas, sería posible volver a dividirlas para obtener cuatro esferas y así consecutivamente, de tal manera que con un simple guisante podríamos construir una esfera del tamaño del Sol. ¿Magia? No, matemáticas.
Realmente, todo esto tiene una pega: que sea matemáticamente posible no quiere decir que sea físicamente posible, pues de ser posible, no seguiría el principio de conservación de la masa, propuesto por Lomonósov (1784) y Lavoisier (1785). La cuestión reside en que, pese a que físicamente sea imposible, desde el punto de vista matemático es posible.
Este teorema fue propuesto por los matemáticos polacos Stefan Banach y
Alfred Tarski en 1924, basándose en los trabajos de Felix Hausdorff y
Giuseppe Vitali. La demostración del teorema, compleja para cualquier curioso alejado del mundo matemático, no contiene ningún fallo o incoherencia: es correcta, si bien es cierto que emplea una herramienta matemática, el axioma de elección, que suscita cierta polémica, aunque es de gran utilidad en la elaboración de diversas demostraciones matemáticas. Este teorema también se puede demostrar mediante el teorema de Hahn-Banach.
Por último, me gustaría decir que este teorema la conocí en la conferencia de Encuentros con la ciencia “Magia matemática y matemáticas mágicas”, del Dr. Nancho Álvarez, cuyo vídeo os dejo aquí abajo (el teorema aparece en la segunda parte, a partir del minuto 15).
Y por supuesto, si vives en Málaga, no dudes en pasarte por alguna de las conferencias que se impartirán en 2018.
Eso es todo. ¡Espero que os haya gustado y feliz año nuevo!
Fuentes:
El libro de las matemáticas. Clifford A. Pickover. Librero
https://www.gaussianos.com/la-paradoja-de-banach-tarski/
https://tiopetrus.blogia.com/2003/091801-la-paradoja-de-tarski-banach.php
http://francis.naukas.com/2010/11/19/la-paradoja-de-banach-tarski-y-el-axioma-de-eleccion/
https://www.wikiwand.com/es/Paradoja_de_Banach-Tarski
https://www.uv.es/ivorra/Libros/Banach_Tarski.pdf
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