La imagen sabatina XLVII

Extracto de Logicomix, cómic de Christos Papadimitriou, Apostolos Doxiadis y Alecos Papadatos, 2009

Muy buenas a todos. Hoy llega de nuevo la imagen sabatina. Esta vez, hablamos sobre una de las paradojas más famosas de la lógica y de las matemáticas: La paradoja de Russell o paradoja del barbero.

Esta paradoja fue formulada en 1901 por el filósofo, lógico, matemático y escritor británico Bertrand Russell. Su objetivo era demostrar que la teoría de conjuntos propuesta por los matemáticos Cantor y Frege era contradictoria.

La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. Un conjunto es una colección de elementos. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: objetos, números, entidades abstractas, colores, letras, personas....  Un elemento pertenece a un conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

De esta forma, en el conjunto de los números 1 y 3, entran {1,3}. En el conjunto de los colores primarios entran {cian, amarillo y magenta}. En el conjunto de los números pares entran {2,4,6,8,10,12...}. En el conjunto de las letras del alfabeto latino entran {a,b,c,d,e,f,g....}...

Russell se percató de un error en esta teoría, que expuso con la siguiente paradoja:

En un antiguo emirato en el que había muy pocos barberos, el emir dictó una ley. Esta decía que los barberos debían afeitar únicamente a aquellas personas de su pueblo que no pudieran afeitarse por sí mismas. Un día, el emir pidió a un barbero de uno de los pueblos de su emirato que lo afeitara y mientras lo afeitaba, el barbero le contaba sus problemas:
Soy el único barbero de mi pueblo. Como barbero, afeito a aquellas personas que no pueden afeitarse por sí mismas. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡pues yo soy el barbero del pueblo! Si me afeitase, como barbero, estaría afeitando a una persona que se puede afeitar por sí sola, luego no puedo afeitarme. Pero al no poderme afeitar, me tiene que afeitar un barbero ¡pero soy el único barbero de mi pueblo!
El emir, conmovido por el barbero, casó al barbero con la más hermosa de sus hijas. De esta forma, el barbero vivió feliz y barbudo.

Esta paradoja, se enuncia formalmente de esta forma:

Llamemos M al ''conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos'' Se nos presenta esta duda: ¿Se contiene M a sí mismo? Pues, si no se contiene a sí mismo, entraría en el conjunto; pero al contenerse a sí mismo, no puede entrar en el conjunto.

De esta forma, M contiene a M si y solo si M no contiene a M, lo cual es absurdo y contradictorio.

Esta paradoja es irresoluble y marca el principio del fin de la idea de que las matemáticas son perfectas. 

Eso es todo por hoy. ¡Espero que os haya gustado y nos vemos en el siguiente post!